Внук писателя А. Н. Радищева. Боголюбов родился в семье помещика, отставного полковника Петра Гавриловича Боголюбова и Фёклы Александровны Радищевой.
Рано лишившись отца, был отдан в Александровский малолетний кадетский корпус. Оттуда переведен в Морской кадетский корпус в Петербурге, который окончил в 1841 году в звании мичмана. Уже будучи кадетом начал заниматся живописью. В 1849 году был в числе офицеров корабля «Камчатка», на котором отправился на Мадейру герцог Максимилиан Лейхтенбергский. Познакомившись с рисунками Боголюбова, герцог посоветовал молодому офицеру посвятить себя искусству. Совет был услышан.
Не оставляя службы, Боголюбов стал учеником Академии художеств и брал уроки у профессоров А.П.Брюллова, Ф.А.Бруни. Наибольшее влияние оказал на него И. К. Айвазовский. Больше всего ему удавались морские батальные сцены. В 1853 году Совет Академии художеств удостоил Боголюбова большой золотой медали, звания художника 1-й степени и трехлетней поездки в художественные центры Европы для совершенствования за счет Академии. Уволившись из флота, Боголюбов в чине титулярного советника в звании художника был причислен к Главному Морскому штабу.
Музейная жизнь России до 1890-х годов была в двух столицах - Москве и Санкт-Петербурге и эти музеи были частными и почти недоступными для посещения широкой публикой. 29 июня 1885 года состоялось торжественное открытие первого в России провинциального художественного музея в городе Саратове. Основал Саратовский художественный музей художник-подвижник Алексей Петрович Боголюбов. Музей получил имя А. Н. Радищева. Так как Боголюбов был его внуком. 30 июня музей был открыт для бесплатного посещения всеми желающими.
